5.4 多元函数的极值（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：找地形图的山顶和谷底

二元函数极值就是找地形图的山顶（极大）和谷底（极小）。

方法：先找偏导都为 0 的点（驻点），再用 $AC-B^2$ 判别法判断。

判别法 $AC-B^2$ 是什么？

在驻点处，$A=f_{xx}$，$B=f_{xy}$，$C=f_{yy}$：

• $AC-B^2>0$：有极值（$A>0$ 极小，$A<0$ 极大）
• $AC-B^2<0$：鞍点（非极值）
• $AC-B^2=0$：判别失效

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二、考点全爆破

求极值步骤（四步法）

1. 求驻点：解 $\{\begin{array}{l}{f}_x=0\\ f_y=0\end{array}$
2. 算判别量：$A=f_{xx}$，$B=f_{xy}$，$C=f_{yy}$，$AC-B^2$
3. 判别：
   • $AC-B^2>0$ 且 $A>0$ → 极小值
   • $AC-B^2>0$ 且 $A<0$ → 极大值
   • $AC-B^2<0$ → 非极值（鞍点）
   • $AC-B^2=0$ → 失效
4. 代回求极值

条件极值（拉格朗日乘数法）

求 $f(x,y)$ 在 $g(x,y)=0$ 条件下的极值：

$$L=f+\lambda g$$

解 $\{\begin{array}{l}{L}_x=0\\ L_y=0\\ L_{\lambda }=0\end{array}$

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三、核心难点：$AC-B^2$ 判别法的完整流程

套路：代入判别，注意 $A$ 的符号

示例：求 $f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y$ 的极值。

$f_x=2x-2=0$，$f_y=2y-4=0$，驻点 $(1,2)$。 $A=2$，$B=0$，$C=2$。 $AC-B^2=4>0$，$A=2>0$ → 极小值。 $f(1,2)=1+4-2-8=-5$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：$AC-B^2$ 算错

$AC-B^2$ 是 $A\cdot C-B^2$，不是 $(A-C{)}^2$ 也不是 $AC-B$。小心平方。

坑 2：$A$ 的符号和极值类型记反

$A>0$ 是极小，$A<0$ 是极大。"正小负大"。

坑 3：驻点不是极值点

$AC-B^2<0$ 时是鞍点（非极值），像 $z=x^2-y^2$ 在原点。驻点不一定有极值。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（基本求极值）

求 $f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y$ 的极值。

题型定位：极值 → $AC-B^2$识别特征：多项式 手把手步骤：

1. 驻点：$f_x=2x-2=0$，$f_y=2y-4=0$，$(1,2)$
2. $A=2$，$B=0$，$C=2$，$AC-B^2=4>0$
3. $A>0$ → 极小值
4. $f(1,2)=-5$结论：$\boxed{{\displaystyle \text{极小值}-5}}$

例 2（鞍点）

判断 $f(x,y)=x^2-y^2$ 在 $(0,0)$ 的极值情况。

题型定位：极值 → 鞍点 识别特征：一正一负 手把手步骤：

1. 驻点：$f_x=2x=0$，$f_y=-2y=0$，$(0,0)$
2. $A=2$，$B=0$，$C=-2$，$AC-B^2=-4<0$
3. 非极值（鞍点） 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{鞍点，非极值}}}$

例 3（极大值）

求 $f(x,y)=2x^2+y^2-4x$ 的极值。

题型定位：极值 → $AC-B^2$识别特征：二次函数 手把手步骤：

1. 驻点：$f_x=4x-4=0$，$f_y=2y=0$，$(1,0)$
2. $A=4$，$B=0$，$C=2$，$AC-B^2=8>0$
3. $A>0$ → 极小值
4. $f(1,0)=2-4=-2$结论：$\boxed{{\displaystyle \text{极小值}-2}}$

例 4（拉格朗日乘数法）

求 $f(x,y)=x+y$ 在 $x^2+y^2=1$ 条件下的最大值。

题型定位：极值 → 条件极值 识别特征：有约束条件 手把手步骤：

1. $L=x+y+\lambda (x^2+y^2-1)$
2. $L_x=1+2\lambda x=0$，$L_y=1+2\lambda y=0$ → $x=y$
3. 代入约束：$2x^2=1$，$x=y=\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$
4. $f_{max}=x+y=\sqrt{2}$结论：$\boxed{{\displaystyle \sqrt{2}}}$

例 5（判别失效）

判断 $f(x,y)=x^4+y^4$ 在 $(0,0)$ 的极值。

题型定位：极值 → 判别失效 识别特征：四次函数 手把手步骤：

1. 驻点：$f_x=4x^3=0$，$f_y=4y^3=0$，$(0,0)$
2. $A=0$，$B=0$，$C=0$，$AC-B^2=0$ 失效
3. 直接观察：$x^4+y^4\ge 0=f(0,0)$，显然是极小值 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{极小值}0\text{（判别失效，用观察）}}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. $AC-B^2>0$ 且 $A<0$ 时是（ ） A. 极小值 B. 极大值 C. 鞍点 D. 失效

2. $AC-B^2<0$ 时是（ ） A. 极小值 B. 极大值 C. 鞍点 D. 不确定

填空题

3. 条件极值用 ______ 法。

4. $AC-B^2=0$ 时判别 ______。

解答题

5. 求 $f(x,y)=x^2+xy+y^2$ 的极值。

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答案与详细解析

1. 答案：B（$A<0$ 极大） 2. 答案：C3. 答案：拉格朗日乘数4. 答案：失效5. 答案：极小值 $0$（驻点 $(0,0)$，$A=2$，$B=1$，$C=2$，$AC-B^2=3>0$，$A>0$ 极小，$f(0,0)=0$）