6.2 二重积分的计算（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：化成累次积分

二重积分化成累次积分——先对 $y$ 积分再对 $x$ 积分（或反过来）。关键是画图定积分限。

好比排队：先排一列（先积 $y$），每列内部依次处理（再积 $x$）——先内后外。

两种坐标

坐标	适用场景
直角坐标	矩形、直线围成区域
极坐标	圆、扇形、环形区域

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二、考点全爆破

直角坐标：$X$ 型区域

$$D:\{\begin{array}{l}a\le x\le b\\ y_1(x)\le y\le y_2(x)\end{array}$$$${\iint }_{D}fdxdy={\int }_a^{b}dx{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}fdy$$

直角坐标：$Y$ 型区域

$$D:\{\begin{array}{l}c\le y\le d\\ x_1(y)\le x\le x_2(y)\end{array}$$$${\iint }_{D}fdxdy={\int }_c^{d}dy{\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}fdx$$

极坐标

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,dxdy=rdrd\theta$$$${\iint }_{D}fdxdy={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$$

关键：极坐标积分微元多乘一个 $r$！

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三、核心难点：确定积分限

套路：画图 → 看"扫描方向"

示例：$D$ 由 $y=x$，$y=0$，$x=1$ 围成，求 ${\iint }_D(x+y)d\sigma$。

画图：三角形区域。 $X$ 型：$0\le x\le 1$，$0\le y\le x$。 ${\int }_0^{1}dx{\int }_0^x(x+y)dy$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：积分限上下反

$y$ 的积分下限是下边界 $y_1(x)$，上限是上边界 $y_2(x)$。下限 < 上限。

坑 2：极坐标忘乘 $r$

极坐标 $dxdy=rdrd\theta$，$r$ 不能丢！

坑 3：$X$ 型和 $Y$ 型搞混

先看哪个变量的范围"固定"，再决定用 $X$ 型还是 $Y$ 型。画图最直观。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（矩形区域）

求 ${\iint }_{D}xyd\sigma$，$D=[0,1]\times [0,2]$。

题型定位：二重积分 → 矩形 识别特征：矩形，可分离变量 手把手步骤：

1. ${\int }_0^1{\int }_0^{2}xydxdy$
2. $=({\int }_0^{1}xdx)({\int }_0^{2}ydy)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2=1$结论：$\boxed{{\displaystyle 1}}$避坑反思：可分离变量时直接拆成两个定积分乘积。

例 2（三角形区域）

求 ${\iint }_D(x+y)d\sigma$，$D$ 由 $y=x$，$y=0$，$x=1$ 围成。

题型定位：二重积分 → 三角形 识别特征：直线围成 手把手步骤：

1. $X$ 型：$0\le x\le 1$，$0\le y\le x$
2. ${\int }_0^{1}dx{\int }_0^x(x+y)dy={\int }_0^1(xy+{\displaystyle \frac{y^2}{2}}){|}_0^{x}dx$
3. $={\int }_0^1(x^2+{\displaystyle \frac{x^2}{2}})dx={\int }_0^1{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}}}$

例 3（极坐标圆域）

求 ${\iint }_D{e}^{-(x^2+y^2)}d\sigma$，$D:x^2+y^2\le 1$。

题型定位：二重积分 → 极坐标 识别特征：圆域，$x^2+y^2$手把手步骤：

1. 极坐标：$x^2+y^2=r^2$，$0\le r\le 1$，$0\le \theta \le 2\pi$
2. ${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1{e}^{-r^2}rdr$
3. $=2\pi [-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-r^2}{]}_0^1=\pi (1-e^{-1})$结论：$\boxed{{\displaystyle \pi (1-{\displaystyle \frac{1}{e}})}}$

例 4（交换积分次序）

计算 ${\int }_0^{1}dx{\int }_x^1{e}^{y^2}dy$。

题型定位：二重积分 → 换序 识别特征：$e^{y^2}$ 不能先对 $y$ 积 手把手步骤：

1. 原区域：$0\le x\le 1$，$x\le y\le 1$ → $0\le y\le 1$，$0\le x\le y$
2. 换序：${\int }_0^{1}dy{\int }_0^y{e}^{y^2}dx={\int }_0^1{e}^{y^2}\cdot ydy$
3. $={\displaystyle \frac{1}{2}}[e^{y^2}{]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{2}}(e-1)$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}(e-1)}}$避坑反思：$e^{y^2}$ 的原函数不是初等函数，必须换序。

例 5（扇形区域）

求 ${\iint }_{D}d\sigma$，$D$ 是第一象限单位圆。

题型定位：二重积分 → 极坐标面积 识别特征：四分之一圆 手把手步骤：

1. 极坐标：$0\le \theta \le {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$，$0\le r\le 1$
2. ${\int }_0^{\pi /2}d\theta {\int }_0^{1}rdr={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{4}}}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 极坐标 $dxdy=$（ ） A. $drd\theta$ B. $rdrd\theta$ C. $r^{2}drd\theta$ D. $drd\theta /r$

2. $D$ 是单位圆，${\iint }_{D}d\sigma =$（ ） A. $1$ B. $\pi$ C. ${\pi }^2$ D. $2\pi$

填空题

3. $X$ 型区域先对 ______ 积分。

4. ${\iint }_{D}d\sigma$（$D$ 为矩形 $[0,2]\times [0,3]$）$=$ ______。

解答题

5. 求 ${\iint }_{D}xd\sigma$，$D$ 由 $y=x^2$，$y=x$ 围成。

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答案与详细解析

1. 答案：B2. 答案：B（面积 $\pi$） 3. 答案：$y$（先内后外，先对 $y$） 4. 答案：$6$5. 答案：${\displaystyle \frac{1}{12}}$（$0\le x\le 1$，$x^2\le y\le x$，${\int }_0^{1}x(x-x^2)dx={\int }_0^1(x^2-x^3)dx={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$）