6.3 定积分在物理学上的应用（专升本全勤版）

对应同济八版《高等数学》上册 6-3 节。专插本考频：低频，但变力做功是潜在考点。

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一、大白话讲解

定积分在物理中的应用就是"微元法"的物理版：把物理量（做功、压力、引力）在微小段上近似为常数，求和取极限。

核心公式：$W={\int }_a^{b}F(x)dx$（变力做功）

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二、考点全爆破

1. 变力沿直线做功

若力 $F(x)$ 是 $x$ 的函数，沿 $x$ 轴从 $a$ 到 $b$ 做功：

$$W={\int }_a^{b}F(x)dx$$

典型：弹簧做功（胡克定律 $F=kx$）、抽水做功（重力 $F=\rho gV$）

2. 水压力（了解）

静止液体中，深度 $h$ 处压强 $p=\rho gh$，平板一侧所受压力：

$$P={\int }_a^b\rho gh(x)\cdot l(x)dx$$

其中 $l(x)$ 为平板在深度 $x$ 处的宽度。

3. 引力（了解）

质点在细杆上的引力，公式复杂，专插本几乎不考，略。

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三、例题精讲

例 1 弹簧做功

弹簧自然长度 0.5m，每拉长 0.02m 需力 10N，求将弹簧从 0.5m 拉长到 0.6m 做的功。

解：

① 由胡克定律 $F=kx$，$x=0.02$ 时 $F=10$，得 $k=\frac{10}{0.02}=500$ N/m

② 功：$W={\int }_0^{0.1}500xdx=250x^2{|}_0^{0.1}=250\times 0.01=2.5\text{ J}$

例 2 抽水做功

一个圆柱形水桶，高 2m，底面半径 1m，装满水，求把桶内水全部抽出所做的功（水的密度 $\rho =1000{\text{ kg/m}}^3$，$g=10{\text{ m/s}}^2$）。

解：

① 距桶底 $x$ 处取一薄层水，厚度 $dx$，体积 $dV=\pi \cdot 1^{2}dx=\pi dx$

② 质量 $dm=\rho \pi dx=1000\pi dx$，重力 $dF=1000\pi \cdot 10dx=10000\pi dx$

③ 该层升到桶口需移动距离 $(2-x)$

④ 微元功：$dW=10000\pi (2-x)dx$

⑤ 总功：$W={\int }_0^{2}10000\pi (2-x)dx=10000\pi [2x-\frac{x^2}{2}{]}_0^2=10000\pi (4-2)=20000\pi \text{ J}$

例 3 变力做功（直接积分）

$F(x)=x^2+1$，从 $x=0$ 到 $x=2$，求功。

解：$W={\int }_0^2(x^2+1)dx=[\frac{x^3}{3}+x{]}_0^2=\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}$

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四、易错点警示

❌ 易错	✅ 正确
弹簧做功用 $F=kx$，但 $x$ 是伸长量不是总长	注意区分"自然长度"和"伸长量"
抽水功忘记乘以 $g$	$F=mg=\rho Vg$
抽水位移从水面算起	从水面到桶口距离
变力做功直接代 $F(x)$ 不积分	做功是积分，不是乘法

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五、小结

类型	公式	考频
变力做功	$W={\int }_a^{b}F(x)dx$	⭐⭐ 低频
水压力	$P={\int }_a^b\rho gh(x)l(x)dx$	⭐ 极低频
引力	略	⭐ 几乎不考

专插本高数以纯数学计算为主（极限/导数/积分/级数/微分方程），物理应用极低频，学有余力再看。

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