6.4 曲线积分（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：两类曲线积分，两类物理意义

类型	名称	物理意义	记法
第一类	对弧长	求曲线的质量（线密度×长度）	${\int }_{L}f(x,y)ds$
第二类	对坐标	求变力做功	${\int }_{L}Pdx+Qdy$

怎么区分？

• 对弧长 $ds$：看的是"曲线本身有多长"，物理上是质量
• 对坐标 $dx,dy$：看的是"沿坐标方向的分量"，物理上是做功

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二、考点全爆破

第一类（对弧长）

$${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x(t),y(t))\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt$$

特别地：${\int }_{L}ds$ = 曲线长度。

第二类（对坐标）

$${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_a^b[P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)]dt$$

格林公式（联系曲线积分与二重积分）

$${\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$

条件：$L$ 是正向闭曲线（逆时针），$D$ 是 $L$ 围成的区域。

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三、核心难点：格林公式的使用

套路：闭曲线优先用格林

示例：${\oint }_L(x+y)dx+(x-y)dy$，$L$ 为单位圆（逆时针）。

$P=x+y$，$Q=x-y$。 ${\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}}=1$，${\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}}=1$。 原式 $={\iint }_D(1-1)dxdy=0$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：格林公式要求闭曲线

格林公式只用于闭曲线。不是闭曲线要补线或直接参数化。

坑 2：方向忘变号

格林公式要求正向（逆时针）。顺时针时要变号。

坑 3：$P$ 和 $Q$ 的偏导搞混

${\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}}-{\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}}$，$Q$ 对 $x$ 减 $P$ 对 $y$，别搞反。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（第一类曲线积分）

求 ${\int }_{L}ds$，$L$ 是直线从 $(0,0)$ 到 $(3,4)$。

题型定位：曲线积分 → 第一类 识别特征：求曲线长度 手把手步骤：

1. ${\int }_{L}ds$ = 曲线长度
2. 两点距离 $=\sqrt{9+16}=5$结论：$\boxed{{\displaystyle 5}}$

例 2（第二类曲线积分基础）

求 ${\int }_{L}xdx+ydy$，$L$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的直线。

题型定位：曲线积分 → 第二类 识别特征：参数化 手把手步骤：

1. 参数化：$x=t$，$y=t$，$t\in [0,1]$，$dx=dy=dt$
2. ${\int }_0^1(t+t)dt={\int }_0^{1}2tdt=1$结论：$\boxed{{\displaystyle 1}}$

例 3（格林公式基础）

用格林公式求 ${\oint }_{L}xdy$，$L$ 为单位圆逆时针。

题型定位：曲线积分 → 格林 识别特征：闭曲线 手把手步骤：

1. $P=0$，$Q=x$
2. ${\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}}=1$，${\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}}=0$
3. ${\iint }_{D}1dxdy=\pi$结论：$\boxed{{\displaystyle \pi }}$

例 4（格林公式验证面积公式）

证明 ${\oint }_{L}xdy$ 等于 $L$ 围成区域的面积。

题型定位：曲线积分 → 面积公式 识别特征：证明 手把手步骤：

1. ${\oint }_{L}xdy={\iint }_D{\displaystyle \frac{\partial x}{\partial x}}dxdy={\iint }_{D}dxdy$
2. $=$ 区域面积 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{面积公式成立}}}$

例 5（格林公式综合）

求 ${\oint }_L(x^{2}y)dx+(y^{2}x)dy$，$L$ 为单位圆逆时针。

题型定位：曲线积分 → 格林 识别特征：闭曲线，复杂被积函数 手把手步骤：

1. $P=x^{2}y$，$Q=y^{2}x$
2. ${\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}}=y^2$，${\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}}=x^2$
3. ${\iint }_D(y^2-x^2)dxdy$
4. 对称性：${\iint }_D{y}^{2}dxdy={\iint }_D{x}^{2}dxdy$（单位圆对称），相减为 0 结论：$\boxed{{\displaystyle 0}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 第一类曲线积分的物理意义是（ ） A. 做功 B. 质量 C. 面积 D. 体积

2. 格林公式要求曲线（ ） A. 开曲线 B. 正向闭曲线 C. 任意曲线 D. 直线

填空题

3. ${\int }_{L}ds$ = ______。

4. 格林公式：${\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D$（______）$dxdy$。

解答题

5. 用格林公式求 ${\oint }_L(2x-y)dx+(x+3y)dy$，$L$ 为单位圆逆时针。

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答案与详细解析

1. 答案：B2. 答案：B3. 答案：曲线长度4. 答案：${\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}}-{\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}}$5. 答案：$0$（$P=2x-y$，$Q=x+3y$，${\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}}=1$，${\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}}=-1$，$1-(-1)=2$，${\iint }_{D}2dxdy=2\pi$）更正：$2\times \pi =2\pi$。答案为 $2\pi$。