8.1 常数项级数的概念与性质（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：无穷多个数相加，看总和是有限还是无限

级数就是把无穷多个数加起来，看总和是有限数（收敛）还是无限大（发散）。

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a_1+a_2+a_3+\cdots$$

好比：一滴水、两滴水、三滴水……一直滴下去。如果最后能装满一桶（总和有限）→ 收敛；如果永远装不满还越来越大 → 发散。

部分和

$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$（前 $n$ 项和） 若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=S$ 存在 → 级数收敛于 $S$

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二、考点全爆破

级数收敛定义

$$\text{收敛}⟺\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=S\text{ 存在}$$

重要性质

性质	内容
线性	收敛级数可线性运算
加括号	收敛级数加括号后仍收敛
必要条件	$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$（不满足必发散）
几何级数	$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^n$ 在 $|q|<1$ 收敛于 ${\displaystyle \frac{1}{1-q}}$

判别发散的快捷法

如果 $lim{a}_n\ne 0$，级数一定发散（必要条件不满足）。

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三、核心难点：必要条件不是充分条件

套路：$a_n\to 0$ 不保证收敛

示例：$\sum {\displaystyle \frac{1}{n}}$（调和级数）

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{n}}=0$，但调和级数发散！ $a_n\to 0$ 只是收敛的必要条件，不是充分条件。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：$a_n\to 0$ 就以为收敛

$\sum {\displaystyle \frac{1}{n}}$ 满足 $a_n\to 0$ 但发散！必要条件不是充分条件。

坑 2：用必要条件判收敛

必要条件只能判发散（$lim{a}_n\ne 0$ 必发散），不能判收敛。

坑 3：几何级数公比忘条件

$\sum q^n$ 在 $|q|<1$ 收敛，$|q|\ge 1$ 发散。别忘了 $q$ 的范围。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（等比级数）

判断 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$ 的敛散性。

题型定位：级数 → 等比 识别特征：公比 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$手把手步骤：

1. $|q|={\displaystyle \frac{1}{2}}<1$
2. 收敛
3. 和 $={\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{2}}}=2$结论：$\boxed{{\displaystyle \text{收敛于}2}}$

例 2（必要条件判发散）

判断 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n}{n+1}}$ 的敛散性。

题型定位：级数 → 必要条件 识别特征：$lim{a}_n\ne 0$手把手步骤：

1. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{n}{n+1}}=1\ne 0$
2. 不满足必要条件 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{发散}}}$

例 3（调和级数）

判断 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n}}$ 的敛散性。

题型定位：级数 → 调和 识别特征：$p=1$手把手步骤：

1. $lim{\displaystyle \frac{1}{n}}=0$（满足必要条件）
2. 但调和级数发散（$p$ 级数 $p\le 1$ 发散） 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{发散}}}$

例 4（裂项求和）

求 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}$ 的和。

题型定位：级数 → 裂项 识别特征：分母相邻整数乘积 手把手步骤：

1. 裂项：${\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}={\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$
2. $S_n=1-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$
3. $lim{S}_n=1$结论：$\boxed{{\displaystyle 1}}$

例 5（公比 >1 发散）

判断 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^n$ 的敛散性。

题型定位：级数 → 等比发散 识别特征：公比 >1 手把手步骤：

1. $q=2>1$
2. 发散 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{发散}}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 级数收敛的必要条件是（ ） A. $a_n>0$ B. $lim{a}_n=0$ C. $\sum a_n$ 有界 D. $a_n<1$

2. $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n=$（ ） A. ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ B. ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ C. $3$ D. ${\displaystyle \frac{1}{3}}$

填空题

3. $|q|<1$ 时 $\sum q^n=$ ______。

4. 调和级数 $\sum {\displaystyle \frac{1}{n}}$ ______（收敛/发散）。

解答题

5. 判断 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2n+1}{3n}}$ 的敛散性。

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答案与详细解析

1. 答案：B2. 答案：B（${\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{3}}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$） 3. 答案：${\displaystyle \frac{1}{1-q}}$4. 答案：发散5. 答案：发散（$lim{\displaystyle \frac{2n+1}{3n}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\ne 0$，必要条件不满足）