8.2 正项级数审敛法（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：正项级数（所有项 ≥0）的收敛性判断有三种武器

方法	使用场景
比较审敛法	能找个参照级数比大小
比值审敛法	通项含阶乘、指数、幂
根值审敛法	通项含 $n$ 次方

$p$ 级数是"参照系"

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}\{\begin{array}{ll}\text{收敛},& p>1\\ \text{发散},& p\le 1\end{array}$$

它是比较法的"度量衡"——所有正项级数都和它比。

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二、考点全爆破

比较审敛法

$0\le a_n\le b_n$：

• $\sum b_n$ 收敛 → $\sum a_n$ 收敛
• $\sum a_n$ 发散 → $\sum b_n$ 发散

比值审敛法（达朗贝尔）

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho$$

• $\rho <1$：收敛
• $\rho >1$：发散
• $\rho =1$：失效（换方法）

根值审敛法（柯西）

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}=\rho$$

• $\rho <1$：收敛；$\rho >1$：发散；$\rho =1$：失效

$p$ 级数结论

$$\sum \frac{1}{n^p}:p>1\text{收敛},p\le 1\text{发散}$$

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三、核心难点：比值法算 $\rho$

套路：写出 ${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$，化简取极限

示例：判断 $\sum {\displaystyle \frac{1}{n!}}$ 的敛散性。

${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}={\displaystyle \frac{n!}{(n+1)!}}={\displaystyle \frac{1}{n+1}}\to 0<1$。 收敛。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：$\rho =1$ 还下结论

比值法 $\rho =1$ 时失效，不能判收敛也不能判发散，换比较法或 $p$ 级数。

坑 2：比较法方向搞反

$\sum b_n$ 收敛才能推出 $\sum a_n$ 收敛（$a_n\le b_n$）。方向错了结论就错。

坑 3：$p$ 级数 $p$ 值算错

$\sum {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}=\sum {\displaystyle \frac{1}{n^{1/2}}}$，$p={\displaystyle \frac{1}{2}}<1$ 发散。先看 $p$ 再下结论。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（$p$ 级数）

判断 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}$ 的敛散性。

题型定位：正项级数 → $p$ 级数 识别特征：${\displaystyle \frac{1}{n^p}}$手把手步骤：

1. $p=2>1$结论：$\boxed{{\displaystyle \text{收敛}}}$

例 2（比值法）

判断 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n}{2^n}}$ 的敛散性。

题型定位：正项级数 → 比值法 识别特征：幂和指数 手把手步骤：

1. ${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}={\displaystyle \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n}}={\displaystyle \frac{n+1}{2n}}\to {\displaystyle \frac{1}{2}}<1$结论：$\boxed{{\displaystyle \text{收敛}}}$

例 3（比值法阶乘）

判断 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n!}{n^n}}$ 的敛散性。

题型定位：正项级数 → 比值法 识别特征：阶乘 手把手步骤：

1. ${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}={\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n+1{)}^{n+1}}}\cdot {\displaystyle \frac{n^n}{n!}}={\left({\displaystyle \frac{n}{n+1}}\right)}^n\to {\displaystyle \frac{1}{e}}<1$结论：$\boxed{{\displaystyle \text{收敛}}}$

例 4（根值法）

判断 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{n}{2n+1}}\right)}^n$ 的敛散性。

题型定位：正项级数 → 根值法 识别特征：$n$ 次方 手把手步骤：

1. $\sqrt[n]{a_n}={\displaystyle \frac{n}{2n+1}}\to {\displaystyle \frac{1}{2}}<1$结论：$\boxed{{\displaystyle \text{收敛}}}$

例 5（比较法）

判断 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^2+1}}$ 的敛散性。

题型定位：正项级数 → 比较法 识别特征：可和 $p$ 级数比 手把手步骤：

1. ${\displaystyle \frac{1}{n^2+1}}\le {\displaystyle \frac{1}{n^2}}$
2. $\sum {\displaystyle \frac{1}{n^2}}$ 收敛（$p=2>1$）
3. 由比较法，原级数收敛 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{收敛}}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. $\sum {\displaystyle \frac{1}{n^{1/2}}}$（ ） A. 收敛 B. 发散 C. 不确定 D. 等于 1

2. 比值法 $\rho =1$ 时（ ） A. 收敛 B. 发散 C. 失效 D. 等于 1

填空题

3. $p$ 级数 $\sum {\displaystyle \frac{1}{n^p}}$ 在 $p$ ______ 时收敛。

4. 含阶乘用 ______ 法。

解答题

5. 判断 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n\sqrt{n}}}$ 的敛散性。

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答案与详细解析

1. 答案：B（$p={\displaystyle \frac{1}{2}}<1$） 2. 答案：C3. 答案：$>1$4. 答案：比值（达朗贝尔）5. 答案：收敛（${\displaystyle \frac{1}{n\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{1}{n^{3/2}}}$，$p={\displaystyle \frac{3}{2}}>1$）