8.4 傅里叶级数（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：把周期函数拆成正弦波和余弦波

傅里叶级数就是把周期函数拆成一堆正弦波和余弦波的和。

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

好比：一段复杂的音乐（周期函数）可以拆成很多个纯音（正弦波）的叠加。每个纯音有自己的音量（系数 $a_n,b_n$）。

什么时候能展开？

周期函数（或定义在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的函数），满足狄利克雷条件（通常考试默认满足）。

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二、考点全爆破

傅里叶系数公式（必背！）

$$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$$$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx$$$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$

奇偶函数简化（重要技巧！）

函数类型	消失的系数	展开式
奇函数（$f(-x)=-f(x)$）	$a_0=0$，$a_n=0$	只有正弦项
偶函数（$f(-x)=f(x)$）	$b_n=0$	只有余弦项

收敛定理（狄利克雷）

在连续点处，傅里叶级数收敛于 $f(x)$； 在间断点处，收敛于 ${\displaystyle \frac{f(x^{-})+f(x^{+})}{2}}$（左右极限平均值）。

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三、核心难点：奇偶函数的系数计算

套路：先看奇偶，只算需要的系数

示例：$f(x)=x$（$x\in [-\pi ,\pi ]$），求其傅里叶系数。

$f(x)=x$ 是奇函数。 $a_0=0$，$a_n=0$（奇函数在对称区间积分为 0）。 $b_n={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin nxdx={\displaystyle \frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}}$。 $f(x)=2(\sin x-{\displaystyle \frac{\sin 2x}{2}}+{\displaystyle \frac{\sin 3x}{3}}-\cdots )$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：奇偶函数不看直接用公式硬算

奇函数 → $a_n=0$（只算 $b_n$）；偶函数 → $b_n=0$（只算 $a_n$）。先看奇偶，省一半计算。

坑 2：间断点收敛值

间断点处傅里叶级数收敛到左右极限平均值，不是函数值本身。

坑 3：$a_0$ 的系数

展开式中 $a_0$ 前面是 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$（${\displaystyle \frac{a_0}{2}}$），系数公式里没有 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$。注意区别。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（奇函数展开）

求 $f(x)=x$（$x\in [-\pi ,\pi ]$）的傅里叶展开式。

题型定位：傅里叶 → 奇函数 识别特征：奇函数 手把手步骤：

1. $f(x)=x$ 奇函数 → $a_0=a_n=0$
2. $b_n={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin nxdx={\displaystyle \frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}}$
3. $f(x)=\sum {\displaystyle \frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}}\sin nx$结论：$\boxed{{\displaystyle 2(\sin x-{\displaystyle \frac{\sin 2x}{2}}+{\displaystyle \frac{\sin 3x}{3}}-\cdots )}}$

例 2（偶函数展开）

求 $f(x)=x^2$（$x\in [-\pi ,\pi ]$）的傅里叶展开式。

题型定位：傅里叶 → 偶函数 识别特征：偶函数 手把手步骤：

1. $b_n=0$（偶函数）
2. $a_0={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{2{\pi }^2}{3}}$
3. $a_n={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^2\cos nxdx={\displaystyle \frac{4(-1{)}^n}{n^2}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{{\pi }^2}{3}}+4\sum {\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n^2}}\cos nx}}$

例 3（间断点收敛值）

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<\pi \\ -1,& -\pi <x<0\end{array}$，求 $x=0$ 处傅里叶级数的收敛值。

题型定位：傅里叶 → 收敛值 识别特征：间断点 手把手步骤：

1. $x=0$ 是间断点
2. 左极限 $f(0^{-})=-1$，右极限 $f(0^{+})=1$
3. 收敛于 ${\displaystyle \frac{-1+1}{2}}=0$结论：$\boxed{{\displaystyle 0}}$

例 4（奇函数系数）

求 $f(x)=x$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的 $b_1$。

题型定位：傅里叶 → 系数计算 识别特征：求单个系数 手把手步骤：

1. $b_1={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin xdx$
2. $={\displaystyle \frac{1}{\pi }}[-x\cos x+\sin x{]}_{-\pi }^{\pi }={\displaystyle \frac{1}{\pi }}(2\pi )=2$结论：$\boxed{{\displaystyle 2}}$

例 5（$a_0$ 计算）

求 $f(x)=x^2$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的 $a_0$。

题型定位：傅里叶 → $a_0$识别特征：求 $a_0$手把手步骤：

1. $a_0={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^{2}dx$
2. $={\displaystyle \frac{1}{\pi }}\cdot {\displaystyle \frac{2{\pi }^3}{3}}={\displaystyle \frac{2{\pi }^2}{3}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{2{\pi }^2}{3}}}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 奇函数的傅里叶级数只含（ ） A. 正弦项 B. 余弦项 C. 常数项 D. 全部

2. 偶函数 $b_n=$（ ） A. 0 B. 1 C. $\pi$ D. 不能确定

填空题

3. $a_0={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }$ ______ $dx$。

4. 间断点处傅里叶级数收敛于 ______。

解答题

5. 求 $f(x)=x$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的傅里叶展开式。

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答案与详细解析

1. 答案：A2. 答案：A3. 答案：$f(x)$4. 答案：${\displaystyle \frac{f(x^{-})+f(x^{+})}{2}}$（左右极限平均值）5. 答案：$2(\sin x-{\displaystyle \frac{\sin 2x}{2}}+{\displaystyle \frac{\sin 3x}{3}}-\cdots )$（奇函数，$a_n=0$，$b_n={\displaystyle \frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}}$）