1.2 数列的极限（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻）

本质：无穷逼近但可以不等于

数列极限说的是：当 $n$ 越来越大时，$a_n$ 越来越接近一个固定的数 $A$，想多近就有多近。

好比你在远处看一棵树，越走越近，虽然永远摸不到它（极限点），但可以无限接近。极限 $A$ 就是那棵树的位置。

和函数极限的区别

	数列极限	函数极限
自变量	$n$（正整数，离散）	$x$（连续）
记号	$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$	$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)$
趋近方式	唯一方向（$n$ 增大）	左右两个方向

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二、考点全爆破

1. 数列极限的定义（ε-N 语言，了解即可）

对任意 $\epsilon >0$，总存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，有 $|a_n-A|<\epsilon$，则称 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$。

专插本不考严格证明，但要能判断极限是否存在。

2. 收敛数列的性质（必考选择题）

性质	内容
唯一性	收敛数列极限唯一
有界性	收敛数列必有界（反过来不一定！）
保号性	极限 $A>0$，则从某项起 $a_n>0$

⚠️ 有界 ≠ 收敛：$a_n=(-1{)}^n$ 有界但发散。

3. 常见数列极限结论（直接背）

数列	极限
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^k}=0$（$k>0$）	0
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{q}^n=0$（$|q|<1$）	0
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a}=1$（$a>0$）	1
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{n}=0$（$a_n$ 有界）	0
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$	$e$

4. 夹逼准则（数列版）

若 $a_n\le c_n\le b_n$ 且 $lim{a}_n=lim{b}_n=A$，则 $lim{c}_n=A$。

适用场景：求和式极限（如 $\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots +\frac{n}{n^2}$）——用放缩法夹逼。

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三、例题精讲

例 1 判断极限是否存在

$a_n=(-1{)}^n$，判断 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ 是否存在？

解：$a_n$ 在 $-1$ 和 $1$ 之间摆动，不趋近任何固定数，极限不存在（发散）。

例 2 求 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n+1}{2n+3}$

解：分子分母同除 $n$：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n+1}{2n+3}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{3}{n}}=\frac{1+0}{2+0}=\frac{1}{2}$$

例 3 求 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$

解：有理化（分子有理化）：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0$$

例 4（夹逼）求 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+2+\cdots +n}{n^2}$

解：先化简 $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$，则

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}$$

例 5 利用有界性

设 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=2$，求 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{n}$

解：$a_n$ 收敛必有界，$\frac{a_n}{n}$ 分子有界分母无穷大，极限为 0。

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四、易错点警示

❌ 易错	✅ 正确做法
认为有界数列必收敛	有界不一定收敛（$(-1{)}^n$ 反例）
求和式极限先展开再求	用夹逼或先化简通项
忽略 $n$ 只能取正整数	数列极限不存在左右趋近
$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ 直接代 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$	先有理化再求

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五、小结

考点	要点
定义	ε-N 语言（了解）
性质	唯一性、有界性（收敛⇒有界）、保号性
常用极限	$\frac{1}{n^k}\to 0$、$q^n\to 0$（|q|<1）
夹逼准则	求和式极限的利器
题型	判断敛散、求极限（抓大头/有理化/夹逼）

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