1.3 函数的极限（专升本全勤版）

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一、大白话讲解

两种情形

类型	记号	大白话
$x\to x_0$	$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$	$x$ 无限接近 $x_0$ 时，$f(x)$ 无限接近 $A$
$x\to \mathrm{\infty }$	$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$	$x$ 无限增大时，$f(x)$ 无限接近 $A$

左极限与右极限

• 左极限：$x$ 从左边（小于 $x_0$）趋近，记作 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)$
• 右极限：$x$ 从右边（大于 $x_0$）趋近，记作 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$

极限存在的充要条件：左极限 = 右极限（且都等于 $A$）

好比走楼梯：从左边走到第 3 级台阶 = 从右边走到第 3 级台阶 → 你确定在第 3 级。如果左边到 2 右边到 4，就不存在。

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二、考点全爆破

1. 极限存在的充要条件（高频考点）

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A⟺\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A$$

2. 极限的性质

性质	内容
唯一性	极限存在则唯一
局部有界性	$x\to x_0$ 时，$f(x)$ 在 $x_0$ 附近有界
局部保号性	极限 >0，则邻域内 $f(x)>0$

3. 常见的极限不存在情形

• 左右极限不相等（如 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{|x|}{x}$）
• 振荡（如 $\underset{x\to 0}{lim}\sin \frac{1}{x}$）
• 无穷大（如 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^2}$）

4. 四则运算（本章重点）

若 $limf(x)=A$, $limg(x)=B$，则：

$$lim[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$$$$lim[f(x)\cdot g(x)]=A\cdot B$$$$lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$$

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三、例题精讲

例 1 判断极限是否存在，并求值

$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x<0\\ e^x,& x\ge 0\end{array}$，求 $\underset{x\to 0}{lim}f(x)$

解：

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}(x+1)=1$$$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}{e}^x=1$$

左右极限相等，$\underset{x\to 0}{lim}f(x)=1$

例 2 不存在的情形

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{|x|}{x}$

解：

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{|x|}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{-x}{x}=-1$$$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{|x|}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x}{x}=1$$

左右极限不相等，极限不存在。

例 3 利用四则运算

$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2+3x-10}{x-2}$

解：先因式分解：

$$\underset{x\to 2}{lim}\frac{(x-2)(x+5)}{x-2}=\underset{x\to 2}{lim}(x+5)=7$$

例 4 无穷大情形

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^2}=\mathrm{\infty }$（极限不存在，为无穷大）

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四、易错点警示

❌ 易错	✅ 正确
分段函数直接代入	先算左右极限再判断
认为 $	x
分母为 0 时认为极限不存在	可能为无穷大，也可能约分后存在
忽视 $x\to \mathrm{\infty }$ 时正负无穷的区别	$x\to +\mathrm{\infty }$ 和 $x\to -\mathrm{\infty }$ 要分别考虑

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五、小结

考点	要点
左/右极限	极限存在 $⟺$ 左=右
分段函数	必考！先左右再判断
四则运算	前提是每部分极限存在
无穷大	$\frac{1}{0}$ 型，极限不存在

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