1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性（专升本全勤版）

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一、大白话讲解

连续就是"一笔画"：函数图像没有断点。

• 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然连续
• 连续函数的复合仍然连续
• 基本初等函数（幂、指、对、三角、反三角）在各自定义域内都连续

推论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。这意味着——求初等函数的极限，直接代入定义域内的点即可！

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二、考点全爆破

1. 连续函数的四则运算

若 $f(x),g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则：

• $f(x)\pm g(x)$ 连续
• $f(x)\cdot g(x)$ 连续
• $\frac{f(x)}{g(x)}$ 连续（$g(x_0)\ne 0$）

2. 复合函数的连续性

若 $u=\phi (x)$ 在 $x_0$ 连续，$y=f(u)$ 在 $u_0=\phi (x_0)$ 连续，则 $y=f[\phi (x)]$ 在 $x_0$ 连续。

重要推论（求极限用）：

$$\underset{x\to x_0}{lim}f[\phi (x)]=f[\underset{x\to x_0}{lim}\phi (x)]$$

即极限号可以穿过连续函数。

3. 基本初等函数的连续性

函数类型	连续范围
幂函数 $x^a$	定义域内
指数函数 $a^x$	$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$
对数函数 ${\log }_{a}x$	$(0,+\mathrm{\infty })$
三角函数	定义域内
反三角函数	定义域内

4. 初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合，且用一个式子表示的函数叫初等函数。初等函数在其定义区间内连续。

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三、例题精讲

例 1 利用连续性求极限

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}$——这是重要极限，不能直接代 0。但 $\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\sin x=\sin \frac{\pi }{2}=1$（初等函数直接代入）。

例 2 极限号穿过连续函数

$\underset{x\to 0}{lim}\ln (1+x)$

解：$\ln$ 是连续函数：

$$\underset{x\to 0}{lim}\ln (1+x)=\ln [\underset{x\to 0}{lim}(1+x)]=\ln 1=0$$

例 3 复合求极限

$\underset{x\to 1}{lim}\sqrt{x^2+3}$

解：$\sqrt{\cdot }$ 连续：

$$=\sqrt{\underset{x\to 1}{lim}(x^2+3)}=\sqrt{4}=2$$

例 4 判断间断点

$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 处？

解：$x=1$ 处无定义（分母为 0），是可去间断点。补充定义 $f(1)=2$ 后连续。

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四、易错点警示

❌ 易错	✅ 正确
分段函数直接代入	先判断该点是否在定义域内、是否连续
初等函数在"无定义点"直接代入	无定义点是间断点，不能代
忽视复合函数内层极限	先求内层极限再穿过外层
$\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 直接代入	0/0 型，用重要极限

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五、小结

考点	要点
四则运算	连续函数的组合仍连续
复合连续性	极限号可穿过连续函数
初等函数	定义区间内必连续
求极限	定义域内直接代入

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