9.6 多元函数微分学的几何应用（专升本全勤版）

对应同济八版《高等数学》下册 9-6 节

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一、大白话讲解

曲线的切线：把曲线"拉直"的方向

一条空间曲线，在某点处有个"前进方向"，这个方向就是切向量。切线方程就是过该点沿切向量的直线。

曲面的切平面：曲面在某点的"支撑面"

曲面在某点附近像一个平面，这个平面就是切平面。它的法向量垂直于切平面，也就是曲面的"垂线方向"——法向量。

两条主线：曲线 → 切向量 → 切线 + 法平面；曲面 → 法向量 → 切平面 + 法线。

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二、考点全爆破

1. 空间曲线的切线与法平面（参数方程形式）

曲线：$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$，在 $t=t_0$ 处：

切向量：$\overrightarrow{\tau }=(x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0))$

切线方程：

$$\frac{x-x_0}{x^{\prime }(t_0)}=\frac{y-y_0}{y^{\prime }(t_0)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime }(t_0)}$$

法平面方程（过点且垂直于切向量）：

$$x^{\prime }(t_0)(x-x_0)+y^{\prime }(t_0)(y-y_0)+z^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0$$

2. 曲面的切平面与法线（隐式形式）

曲面：$F(x,y,z)=0$，在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处：

法向量：$\overrightarrow{n}=(F_x(P_0),F_y(P_0),F_z(P_0))$

切平面方程：

$$F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0$$

法线方程：

$$\frac{x-x_0}{F_x(P_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(P_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(P_0)}$$

特殊情形：曲面为 $z=f(x,y)$ 时，令 $F=f(x,y)-z$，则法向量 $=(f_x,f_y,-1)$。

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三、例题精讲

例 1 求曲线的切线与法平面

曲线 $x=t,y=t^2,z=t^3$，求在 $t=1$ 处的切线与法平面。

解：

① 切向量：$x^{\prime }=1,y^{\prime }=2t=2,z^{\prime }=3t^2=3$，即 $(1,2,3)$

② 切点：$(1,1,1)$

③ 切线方程：$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$

④ 法平面：$1(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0$，即 $x+2y+3z-6=0$

例 2 求曲面的切平面与法线

求曲面 $z=x^2+y^2$ 在点 $P(1,1,2)$ 处的切平面与法线。

解：

① 令 $F=x^2+y^2-z=0$

② $F_x=2x=2$，$F_y=2y=2$，$F_z=-1$，法向量 $(2,2,-1)$

③ 切平面：$2(x-1)+2(y-1)-1(z-2)=0$，即 $2x+2y-z-2=0$

④ 法线：$\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}$

例 3 特殊形式直接求

曲面 $z=f(x,y)$ 形式，法向量直接用 $(f_x,f_y,-1)$——不用设 $F$ 再求。

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四、易错点警示

❌ 易错	✅ 正确
把切向量和法向量搞混	曲线→切向量；曲面→法向量
曲面为 $z=f(x,y)$ 时忘掉 $-1$	法向量 $(f_x,f_y,-1)$
法平面方程写成切线形式	法平面是"点法式"平面方程
切点在曲面上但没验证	先确认点满足曲面方程

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五、小结

对象	关键向量	切线/切平面	法平面/法线
曲线 $r(t)$	切向量 $r^{\prime }(t_0)$	$\frac{x-x_0}{x^{\prime }}=\frac{y-y_0}{y^{\prime }}=\frac{z-z_0}{z^{\prime }}$	点法式平面
曲面 $F=0$	法向量 $(F_x,F_y,F_z)$	点法式平面	$\frac{x-x_0}{F_x}=\cdots$

口诀：曲线找切向，曲面找法向；切平面用点法式，法线用对称式。

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